题目内容
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE=CD．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，| AP |
| AB |
| AE |
下列三个命题：
①当点P与D重合时，λ+μ=2；
②λ+μ的最小值为0，λ+μ的最大值为3；
③在满足1≤λ+μ≤2的动点P中任取两个不同的点P1和P2，则0＜|
| P1P2 |
| 1 |
| 2 |
| P1P2 |
| 2 |
其中正确命题的个数为（ ）
| A、0 | B、1 | C、2 | D、3 |
分析：建立坐标系得
=（λ-μ，μ），通过P的位置讨论，结合不等式的性质判定命题①、②、③是否正确，从而得出正确答案．
| AP |
解答：解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图
，
则B（1，0），E（-1，1），
∴
=（1，0），
=（-1，1），
∴
=λ
+μ
=（λ-μ，μ），
当点P与D重合时，
=（λ-μ，μ）=（0，1），
∴λ=μ=1，此时λ+μ=2，∴命题①正确；
当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
综上，0≤λ+μ≤3，∴命题②正确；
设BC的中点为F，AD的中点为G，如图
，
当1≤λ+μ≤2时，动点P在BF或DG上运动，
∴当点P1、P2同在BF或DG上时，有0＜|
|≤
，
当点P1、P2分别在BF、DG上时，有1＜|
|≤
，∴命题③正确；
综上，正确的命题是①②③．
故选：D．
，则B（1，0），E（-1，1），
∴
| AB |
| AE |
∴
| AP |
| AB |
| AE |
当点P与D重合时，
| AP |
∴λ=μ=1，此时λ+μ=2，∴命题①正确；
当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
综上，0≤λ+μ≤3，∴命题②正确；
设BC的中点为F，AD的中点为G，如图
，当1≤λ+μ≤2时，动点P在BF或DG上运动，
∴当点P1、P2同在BF或DG上时，有0＜|
| P1P2 |
| 1 |
| 2 |
当点P1、P2分别在BF、DG上时，有1＜|
| P1P2 |
| 2 |
综上，正确的命题是①②③．
故选：D．
点评：本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，是易错题．
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