题目内容

给出下列四个命题:
①“向量
a
b
的夹角为锐角”的充要条件是“
a
b
>0”;
②如果f(x)=lgx,则对任意的x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有f(
x1+x2
2
)>
f(x1)+f(x2)
2

③设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1成立,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函数”,区间[a,b]称为“密切区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x-3在[a,b]上是“密切函数”,则其“密切区间”可以是[2,3];
④记函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),要得到y=f-1(1-x)的图象,可以先将y=f(x)的图象关于直线y=x做对称变换,再将所得的图象关于y轴做对称变换,再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位,即得到y=f-1(1-x)的图象.
其中真命题的序号是
 
.(请写出所有真命题的序号)
分析:根据平面向量数量积的定义,可以判断①的真假;根据根据函数凸凹性,可以判断②的真假;根据二次函数的性质及绝对值的运算法则,可以判断③的真假;根据函数图象的变换法则,我们可以得到④的真假;进而得到答案.
解答:解:“
a
b
>0”还包括
a
b
同向(此时向量
a
b
的夹角为0)的情况,故①错误;
由于函数f(x)=lgx,在区间(0,+∞)上是凸增的,故对任意的x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有f(
x1+x2
2
)>
f(x1)+f(x2)
2
,故②正确;
当f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x-3时,|f(x)-g(x)|=|x2-5x+7|,∵在区间[2,3]上|x2-5x+7|∈[0,1],故③正确;
先将y=f(x)的图象关于直线y=x做对称变换,再将所得的图象关于y轴做对称变换,再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位,可以得到y=f′(-x-1)的图象,故④错误
故答案为:②③
点评:本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,函数的图象的变换,函数的值域,及对数函数的图象及性质,其中熟练掌握初等基本函数的图象与性质是解答本题的关键.
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