题目内容
6.已知M是椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1上任意一点,P是线段OM的中点,则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$( )A. | 没有最大值,也没有最小值 | B. | 有最大值,没有最小值 | ||
C. | 有最小值,没有最大值 | D. | 有最大值和最小值 |
分析 通过极坐标表示成M($\sqrt{3}$cosθ,sinθ),利用向量数量积运算性质及三角函数的有界性计算即得结论.
解答 解:由题可知:F1(-$\sqrt{2}$,0),F2($\sqrt{2}$,0),
设M($\sqrt{3}$cosθ,sinθ),
则P($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ,$\frac{1}{2}$sinθ),
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=(-$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ,-$\frac{1}{2}$sinθ)•($\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ,-$\frac{1}{2}$sinθ)
=$\frac{3}{4}$cos2θ-2+$\frac{1}{4}$sin2θ
=($\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$)cos2θ-2+$\frac{1}{4}$sin2θ
=$\frac{1}{2}$cos2θ-$\frac{7}{4}$,
∵cosθ∈[-1,1],
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$∈[-$\frac{7}{4}$,-$\frac{5}{4}$],
故选:D.
点评 本题以椭圆为载体,考查向量数量积的范围,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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