题目内容
18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的两个实根x1，x2，则点P（x1，x2）（ ）| A． | 必在圆x2+）y2=2上 | B． | 必在圆x2+y2=2内 | ||
| C． | 必在圆x2+y2=2外 | D． | 以上三种情况都有可能 |
分析 由题意可求得c=$\frac{1}{2}$a，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，从而可求得x1和x2，利用韦达定理可求得x12+x22的值，从而可判断点P与圆x2+y2=2的关系．
解答 解：∵椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴c=$\frac{1}{2}$a，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴ax2+bx-c=ax2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ax-$\frac{1}{2}$a=0，
∵a≠0，
∴x2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{1}{2}$=0，又该方程两个实根分别为x1和x2，
∴x1+x2=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x1x2=-$\frac{1}{2}$，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=$\frac{3}{4}$+1＜2．
∴点P在圆x2+y2=2的内部．
故选B．
点评 本题考查椭圆的简单性质，考查点与圆的位置关系，求得c，b与a的关系是关键，属于中档题．
练习册系列答案
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6．已知M是椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1上任意一点，P是线段OM的中点，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$（ ）
| A． | 没有最大值，也没有最小值 | B． | 有最大值，没有最小值 | ||
| C． | 有最小值，没有最大值 | D． | 有最大值和最小值 |