题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 数列{bn}，{cn}满足 （n+1）bn=an+1﹣ 
，（n+2）cn= 
﹣ ，其中n∈N*．
（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn ， 求证：数列{an}是等差数列．
【答案】
（1）解：∵数列{an}是公差为2的等差数列，∴an=a1+2（n﹣1）， 
=a1+n﹣1．
∴（n+2）cn= 
﹣（a1+n﹣1）=n+2，解得cn=1
（2）证明：由（n+1）bn=an+1﹣ ，
可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn，（n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1，
相减可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn，
可得：（n+2）cn= 
﹣ = ﹣[an+1﹣（n+1）bn]
= 
+（n+1）bn= 
+（n+1）bn= 
（bn+bn﹣1），
因此cn= 
（bn+bn﹣1）．∵bn≤λ≤cn，
∴λ≤cn= （bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．
∴（n+1）λ=an+1﹣ ，（n+2）λ= （an+1+an+2）﹣ ，
相减可得： （an+2﹣an+1）=λ，即an+2﹣an+1=2λ，（n≥2）．
又2λ= 
=a2﹣a1，则an+1﹣an=2λ（n≥1），∴数列{an}是等差数列
【解析】（1）数列{an}是公差为2的等差数列，可得an=a1+2（n﹣1）， =a1+n﹣1．代入（n+2）cn= ﹣ 即可得出cn ． （2）由（n+1）bn=an+1﹣ ，可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn ， （n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1 ， 相减可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn ， 代入化简可得cn= （bn+bn﹣1）．bn≤λ≤cn ， λ≤cn= （bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．进而得出．
【考点精析】本题主要考查了等差关系的确定和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即
－
=d ，（n≥2，n∈N
）那么这个数列就叫做等差数列；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．
