题目内容
在某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y成等比数列；若插入两个正数b，c，使x，b，c，y成等差数列，求证：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．分析：根据某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y成等比数列，得到a=
，在根据插入两个正数b，c，使x，b，c，y成等差数列，得到b=
，c=
，从而将原不等式转化为关于x，y的关系式，再利用基本不等式即可
| xy |
| 2x+y |
| 3 |
| x+2y |
| 3 |
解答：解：∵x，a，y成等比数列
∴a2=xy
∵a＞1
∴a=
∵x，b，c，y成等差数列
∴b-x=c-b=y-c
即b=
，c=
∴（b+1）（c+1）=(
+1)（
+1）=
∵x＞0，y＞0
∴
≥
+2
+1= (
+1)2=（a+1）2
即：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．
∴a2=xy
∵a＞1
∴a=
| xy |
∵x，b，c，y成等差数列
∴b-x=c-b=y-c
即b=
| 2x+y |
| 3 |
| x+2y |
| 3 |
∴（b+1）（c+1）=(
| 2x+y |
| 3 |
| x+2y |
| 3 |
| 2(x2+y2) +5xy+9x+9y+9 |
| 9 |
∵x＞0，y＞0
∴
| 2(x2+y2) +5xy+9x+9y+9 |
| 9 |
| 2×(2xy)+5xy |
| 9 |
| xy |
| xy |
即：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．
点评：本题考查了基本不等式，等差数列与等比数列的综合，属于基础题．
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