Question

【题目】在△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2 ，求△ABC的面积的最值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知，c=acosB+bsinA， 由正弦定理得，sinC=sinAcosB+sinBsinA，
∵sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，
∴sin（A+B）=sinAcosB+sinBsinA，
化简得，sinBcosA=sinBsinA，
∵sinB＞0，∴cosA=sinA，则tanA=1，
由0＜A＜π得A= ；
（Ⅱ）∵a=2 ，A= ，∴由余弦定理得，
a2=b2+c2﹣2bccosA，则 ，
即 ，解得bc≤ ，当且仅当b=c时取等号，
∴△ABC的面积S= ，
∴△ABC的面积的最大值是 ．
【解析】（Ⅰ）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦函数化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程化简后，由不等式求出bc的范围，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积的最大值．
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:才能正确解答此题．