Question

5．对于数列{x_n}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N^*）都有x_n+m=x_n成立，那么就把这样一类数列{x_n}称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列{x_n}的最小正周期，以下简称周期．例如当x_n=2时{x_n}是周期为1的周期数列，当y_n=sin（$\frac{π}{2}$n）时{y_n}是周期为4的周期数列．
（Ⅰ）设数列{a_n}满足a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁=a，a₂=b（a，b不同时为0），求证：数列{a_n}是周期为6的周期数列，并求数列{a_n}的前2013项的和S₂₀₁₃；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=（a_n+1）²．
①若a_n＞0，试判断数列{a_n}是否为周期数列，并说明理由；
②若a_na_n+1＜0，试判断数列{a_n}是否为周期数列，并说明理由；
（Ⅲ）设数列{a_n}满足a_n+2=a_n+1-a_n+1（n∈N^*），a₁=2，a₂=3，数列{a_n}的前n项和为S_n，试问是否存在p，q，使对任意的n∈N^*都有p≤（-1）ⁿ$\frac{S_n}{n}$≤q成立，若存在，求出p，q的取值范围；不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{{\begin{array}{l}{{a_{n+2}}={a_{n+1}}-{a_n}}\\{{a_{n+3}}={a_{n+2}}-{a_{n+1}}}\end{array}}\right.⇒$a_n+3=-a_n，可得a_n+6=a_n，{a_n}是周期为6的周期数列，由a_n+3+a_n=0⇒a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=0．可得S₂₀₁₃=335•（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）+a₁+a₂+a₃，即可得出．
（Ⅱ）当n=1时，$4\;{S_1}={（\;{a_1}+1\;）^2}$，得a₁=1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得$（{a}_{n}-1）^{2}=（{a}_{n-1}+1）^{2}$，可得a_n-a_n-1=2或a_n=-a_n-1（n≥2）．
①由a_n＞0有a_n-a_n-1=2（n≥2），则{a_n}为等差数列，即a_n=2n-1，{a_n}不是周期数列．
②由a_na_n+1＜0，有a_n=-a_n-1（n≥2），数列{a_n}为等比数列，即${a_n}={（-1）^{n-1}}$，可得{a_n}是周期为2的周期数列．
（Ⅲ）假设存在p，q，满足题设．于是$\left\{{\begin{array}{l}{{a_{n+2}}={a_{n+1}}-{a_n}+1}\\{{a_{n+3}}={a_{n+2}}-{a_{n+1}}+1}\end{array}}\right.⇒$a_n+6=a_n，{a_n}是周期为6的周期数列，{a_n}的前6项分别为2，3，2，0，-1，0，因此${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n，（n=6k）}\\{n+1（n=1或6k±1）}\\{n+3（n=2或6k±2）}\\{n+4（n=6k-3）}\end{array}}\right.$（k∈N^*），分别计算（-1）ⁿ$\frac{S_n}{n}$，即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_{n+2}}={a_{n+1}}-{a_n}}\\{{a_{n+3}}={a_{n+2}}-{a_{n+1}}}\end{array}}\right.⇒$a_n+3=-a_n，
∴a_n+6=-a_n+3=a_n，
∴{a_n}是周期为6的周期数列，
a_n+3=-a_n⇒a_n+3+a_n=0⇒a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=0．
∴S₂₀₁₃=335•（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）+a₁+a₂+a₃=2b．
（Ⅱ）解：当n=1时，S₁=a₁，又$4\;{S_1}={（\;{a_1}+1\;）^2}$，得a₁=1．
当n≥2时，$4{a_n}=4{S_n}-4{S_{n-1}}={（{a_n}+1）^2}-{（{a_{n-1}}+1）^2}$$⇒{（{a_n}-1）^2}={（{a_{n-1}}+1）^2}$，
即a_n-a_n-1=2或a_n=-a_n-1（n≥2）．
①由a_n＞0有a_n-a_n-1=2（n≥2），则{a_n}为等差数列，即a_n=2n-1，
由于对任意的n都有a_n+m≠a_n，
∴{a_n}不是周期数列．
②由a_na_n+1＜0，有a_n=-a_n-1（n≥2），数列{a_n}为等比数列，即${a_n}={（-1）^{n-1}}$，
存在m=2使得a_n+2=a_n对任意n∈N^*都成立，
即当a_na_n+1＜0时{a_n}是周期为2的周期数列．
（Ⅲ）假设存在p，q，满足题设．
于是$\left\{{\begin{array}{l}{{a_{n+2}}={a_{n+1}}-{a_n}+1}\\{{a_{n+3}}={a_{n+2}}-{a_{n+1}}+1}\end{array}}\right.⇒$a_n+3+a_n=2又a_n+6+a_n+3=2即a_n+6=a_n，
∴{a_n}是周期为6的周期数列，{a_n}的前6项分别为2，3，2，0，-1，0，
则${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n，（n=6k）}\\{n+1（n=1或6k±1）}\\{n+3（n=2或6k±2）}\\{n+4（n=6k-3）}\end{array}}\right.$（k∈N^*），
当n=6k时，${（-1）^n}\frac{S_n}{n}=1$，
当n=2或6k±2时，${（-1）^n}\frac{S_n}{n}=1+\frac{3}{n}$$⇒1＜{（-1）^n}\frac{S_n}{n}≤\frac{5}{2}$，
当n=1或6k±1时，${（-1）^n}\frac{S_n}{n}=-1-\frac{1}{n}$$⇒-2≤{（-1）^n}\frac{S_n}{n}＜-1$，
当n=6k-3时，${（-1）^n}\frac{S_n}{n}=-1-\frac{4}{n}$$⇒-\frac{7}{3}≤{（-1）^n}\frac{S_n}{n}＜-1$，
∴$-\frac{7}{3}≤{（-1）^n}\frac{S_n}{n}≤\frac{5}{2}$，
为使$p≤{（-1）^n}\frac{S_n}{n}≤q$恒成立，只要$p≤-\frac{7}{3}$，$q≥\frac{5}{2}$即可，
综上，假设存在p，q，满足题设，$p≤-\frac{7}{3}$，$q≥\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了数列的周期性、等差数列与等比数列的通项公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．