题目内容

已知定义域为R的函数数学公式是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明;
(仅理科做) (3)当t∈[-1,2]时,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.

解:(1)因为f(x)是奇函数,函数的定义域为R,所以f(0)==0,可得b=1,
,取f(-1)=-f(1)得=,解之得a=2
因此,,满足=-=-f(x),符合题意
所以a=2,b=1
(2)由(1)得,=,设x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=-()=
∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0,
->0,+1>0且+1>0,可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2
∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调减函数
(3)∵f(x)是奇函数,
∴f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),
∵f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,
∴由上式可得:t2-2t>k-2t2
即对任意t∈R有:3t2-2t-k>0,
∴△=4+12k<0?k<-,即实数k的取值范围是(-∞,-).
分析:(1)利用特殊值:f(0)=0且f(-1)=-f(1),建立关于a、b的等式并解得a=2,b=1,再将其代入函数表达式加以检验即可;
(2)根据单调性的定义,设x1<x2,将f(x1)与f(x2)作差,再通分整理,可得这个差是一个正数,从而得到f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-∞,+∞)上是单调减函数;
(3)根据函数的单调性和奇偶性,将原不等式恒成立转化为关于t的一元二次不等式3t2-2t-k>0恒成立,再利用一元二次不等式解法结合根的判别式,可求出k的取值范围.
点评:本题给出一个含有指数式的分式形式的函数,叫我们讨论它的单调性与奇偶性,着重考查了函数奇偶性与单调性的综合应用,考查了一元二次不等式恒成立问题等知识,属于中档题.
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