题目内容
18．已知函数y=lg（mx2+2x+m-1）．（1）若函数的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若函数的定义域为M，且（0，3）⊆M，求m的取值范围．
分析 （1）由题意可得mx2+2x+m-1＞0恒成立，对m讨论，m=0和m＞0，判别式△＜0，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意可得mx2+2x+m-1＞0在（0，3）上恒成立，运用参数分离和导数，求得右边函数的最值，再由恒成立思想即可得到所求范围．
解答 解：（1）若函数的定义域为R，
则mx2+2x+m-1＞0恒成立，
当m=0时，2x-1＞0不恒成立，故舍去；
当m＞0，且判别式△=4-4m（m-1）＜0，
解得m＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或m＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
则有m＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
即有m的取值范围是（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）；
（2）由题意可得mx2+2x+m-1＞0在（0，3）上恒成立，
即为m＞$\frac{1-2x}{1+{x}^{2}}$在（0，3）上恒成立，
令g（x）=$\frac{1-2x}{1+{x}^{2}}$，g′（x）=$\frac{2（{x}^{2}-x-1）}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
可得当0＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时，g′（x）＜0，g（x）递减，
当$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）递增，
当x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$处取得极小值，也为最小值，
当x=0时，g（0）=1，当x=3时，g（3）=-$\frac{1}{2}$，
由恒成立思想可得，m≥1．
即有m的取值范围为[1，+∞）．
点评 本题考查对数函数的性质和运用，主要考查二次不等式恒成立问题，注意运用二次函数的图象和性质，以及导数求单调区间和最值，属于中档题．
练习册系列答案
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9．下列命题中，不正确的是（ ）
| A． | $|\overrightarrow a|=\sqrt{{{（\overrightarrow a）}^2}}$ | B． | λ（$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$）=$\overrightarrow a$•（λ$\overrightarrow b$） | C． | （$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）$\overrightarrow c$=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow c$-$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$ | D． | $\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线?$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|$ |
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=4sin（$\frac{π}{6}$x-$\frac{2π}{3}$）．
13．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=1，∠A=120°，则向量$\overrightarrow{BA}$在向量$\overrightarrow{BC}$上的投影等于（ ）
| A． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | -$\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
10．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y≤2\end{array}$，则u=$\frac{x+y}{x}$的取值范围是（ ）
| A． | $[{\frac{4}{3}，\frac{3}{2}}]$ | B． | $[{\frac{1}{3}，2}]$ | C． | $[{\frac{4}{3}，3}]$ | D． | $[{\frac{3}{2}，3}]$ |