Question

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是$\widehat{AC}$的中点，BD交AC于E．
（Ⅰ）若DE=2，BE=4，试求DC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析 （I）先证明△BCD∽△CED，可得$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{DB}$，从而问题得证；   
（II）OD⊥AC，设垂足为F，求出CF²=r²-1，利用DC²=CF²+DF²，建立方程，即可求得⊙O的半径．

解答 （I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD．
∵∠ABD=∠ECD
∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDC=∠EDC
∴△BCD∽△CED，∴$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{DB}$，
∴CD²=DE•DB，
∵DE=2，BE=4，
∴DC=2$\sqrt{3}$；    …（5分）
（Ⅱ）解：∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，设垂足为F，OF=1，
在Rt△COF中，OC²=CF²+OF²，即CF²=r²-1
在Rt△CFD中，DC²=CF²+DF²，
∴12=r²-1+（r-1）²，解得r=3   …（10分）

点评 本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于中档题．