题目内容

15.已知全集U={1,2,3,4,5},A={x∈U|x2-5qx+4=0,q∈R}.
(1)若∁UA=U,求q的取值范围;
(2)若∁UA中有四个元素,求∁UA和q的值.

分析 (1)若∁UA=U,则A=∅,根据一元二次方程根的关系即可求q的取值范围;
(2)若∁UA中有四个元素,则等价为A为单元素集合,然后进行求解即可.

解答 解:(1)∵∁UA=U,
∴A=∅,即方程x2-5qx+4=0无解,或方程x2-5qx+4=0的解不在U中.
∴△=25q2-16<0,∴$-\frac{4}{5}$<q<$\frac{4}{5}$,
若方程x2-5qx+4=0的解不在U中,
此时满足判别式△=25q2-16≥0,即p≥$\frac{4}{5}$或p≤-$\frac{4}{5}$,
由12-5q•1+4≠0得q≠1;
由22-5q•2+4≠0得q≠$\frac{4}{5}$;
同理,由3、4、5不是方程的根,依次可得q≠$\frac{13}{15}$,q≠1,q≠$\frac{29}{25}$;
综上可得所求范围是{q|q∈R,且q≠$\frac{13}{15}$,q≠1,q≠$\frac{29}{25}$}.
(2)∵∁UA中有四个元素,∴A为单元素集合,则△=25q2-16=0,
即q=±$\frac{4}{5}$,
当A={1}时,q=1,不满足条件.;
当A={2}时,q=$\frac{4}{5}$,满足条件.;
当A={3}时,q=$\frac{13}{15}$,不满足条件.;
当A={4}时,q=1,不满足条件.;
当A={5}时,q=$\frac{29}{25}$,不满足条件.,
∴q=$\frac{4}{5}$,此时A={2},
对应的∁UA={1,3,4,5}.

点评 本题主要考查集合的基本运算,结合一元二次方程根的关系是解决本题的关键.

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