Question

5．已知圆x²+y²-2x+6y+6=0
（1）若圆的切线在两坐标轴上的截距相等，求切线方程；
（2）从圆外-点P（x，y）引圆的切线PQ，点Q为切点，O为坐标原点，且满足|PQ|=|OP|，当|PQ|最小时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为-1；当切线过原点时，设切线方程为：y=kx，当切线的斜率为-1时，设切线方程为：x+y+b=0，由相切可得方程，解出即可；
（2）由两点间距离公式及切线长公式，可把|PM|=|PO|化为（x-1）²+（y+2）²-4=x²+y²，化简可得x=2y+$\frac{1}{2}$，从而|PQ|=|PO|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{5（y+\frac{1}{5}）^{2}+\frac{1}{20}}$，借助二次函数的性质可求．

解答 解：圆C的方程为：（x-1）²+（y+3）²=4，
（1）圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为-1；
当切线过原点时，设切线方程为：y=kx，相切则：$\frac{|k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，得k=1±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
当切线的斜率为-1时，设切线方程为：y+x+b=0，由相切得：$\frac{|-3+1+b|}{\sqrt{2}}$=2，得b=2±2$\sqrt{2}$；
故所求切线方程为：y=（1±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）x；或x+y+2±2$\sqrt{2}$=0．
（2）由圆的切线长公式可得|PQ|²=|PC|²-R²=（x-1）²+（y+2）²-4，
由|PQ|=|PO|得，（x-1）²+（y+2）²-4=x²+y²，即2x-4y-1=0，即x=2y+$\frac{1}{2}$，
此时|PQ|=|PO|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{5（y+\frac{1}{5}）^{2}+\frac{1}{20}}$，
∴当y=-$\frac{1}{5}$即P（$\frac{1}{10}$，-$\frac{1}{5}$）时，|PQ|最小．

点评 该题考查圆的方程、性质，考查直线与圆的位置关系，考查与圆有关的最值问题，考查转化思想．