若a＞0.b＞0.求证:$\sqrt{ab}$≥$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$.并指出等号成立的条件．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．若a＞0，b＞0，求证：$\sqrt{ab}$≥$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$，并指出等号成立的条件．

分析通分由基本不等式可得$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$=$\frac{2ab}{a+b}$≤$\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$，可证原不等式和等号成立的条件．

解答证明：∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$=$\frac{2}{\frac{a+b}{ab}}$=$\frac{2ab}{a+b}$≤$\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$，
∴$\sqrt{ab}$≥$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$，
当且仅当a=b时取等号．

点评本题考查基本不等式证明不等式，属基础题．

练习册系列答案

17．已知-$\frac{π}{2}$＜α＜0，sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，则$\frac{1}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}$的值为（　　）

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{1+|x|}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（1，-$\frac{3}{1+|x-2|}$），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，则下列命题正确的个数为（　　）个．
①f（x）的图象关于直线x=1对称；
②f（x）的值域为（0，4]；
③曲线f（x）在x=0，x=2处的切线方程均为y=4；
④f（x）的极值点的个数为3；
⑤方程f[f（x）]=$\frac{10}{3}$的实数解的个数为6．

1．已知函数f（x）=3x³+2x．
（1）求f（2），f（-2），f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（a），f（-a），f（a）+f（-a）的值．

11．画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间：
（1）y=|x|-1；
（2）y=|x-1|．

18．若2^x+2^-x=2，则2^x的值为1．

15．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={x∈U|x²-5qx+4=0，q∈R}．
（1）若∁_UA=U，求q的取值范围；
（2）若∁_UA中有四个元素，求∁_UA和q的值．

16．用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：
（1）$\sqrt{\frac{{b}^{3}}{a}\sqrt{\frac{{a}^{2}}{{b}^{6}}}}$；
（2）$\sqrt{{a}^{\frac{1}{2}}\sqrt{{a}^{\frac{1}{2}}\sqrt{a}}}$；
（3）$\frac{\sqrt{m}•\root{3}{m}•\root{4}{m}}{（\root{6}{m}）^{5}•{m}^{\frac{1}{2}}}$．

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