题目内容
一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形(如图所示,其中O为圆心,
在半圆上),设
,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).
(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求的值,使体积V最大;
(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.
(1);(2)
;(3)是.
解析试题分析:(1)本题求直四棱柱的体积,关键是求底面面积,我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底
和高,从图形中可知高为
,而
,因此面积易求,体积也可得出;(2)我们在(1)中求出
,这里
的最大值可利用导数知识求解,求出
,解出方程
在
上的解,然后考察在解
的两边
的正负性,确定
是最大值点,实质上对应用题来讲,导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点);(3),上(2)我们可能把木梁的表面积用
表示出来,
,由于
在体积
中出现,因此我们可求
的最大值,这里可不用导数来求,因为
,可借助二次函数知识求得最大值,如果这里
取最大值时的
和
取最大值的
取值相同,则结论就是肯定的.
试题解析:(1)梯形的面积
=
,
. 2分
体积. 3分
(2).
令,得
,或
(舍).
∵,∴
. 5分
当时,
,
为增函数;
当时,
,
为减函数. 7分
∴当时,体积V最大. 8分
(3)木梁的侧面积=
,
.
=
,
. 10分
设,
.∵
,
∴当,即
时,
最大. 12分
又由(2)知时,
取得最大值,
所以时,木梁的表面积S最大. 13分
综上,当木梁的体积V最大时,其表面积S也最大. 14分
考点:(1)函数解析式;(2)用导数求最值;(3)四棱柱的表面积及其最值.