题目内容

一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形(如图所示,其中O为圆心,在半圆上),设,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).

(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求的值,使体积V最大;
(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.

(1);(2);(3)是.

解析试题分析:(1)本题求直四棱柱的体积,关键是求底面面积,我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高,从图形中可知高为,而,因此面积易求,体积也可得出;(2)我们在(1)中求出,这里的最大值可利用导数知识求解,求出,解出方程上的解,然后考察在解的两边的正负性,确定是最大值点,实质上对应用题来讲,导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点);(3),上(2)我们可能把木梁的表面积用表示出来,,由于在体积中出现,因此我们可求的最大值,这里可不用导数来求,因为
,可借助二次函数知识求得最大值,如果这里取最大值时的取最大值的取值相同,则结论就是肯定的.
试题解析:(1)梯形的面积
=.       2分
体积.       3分
(2)
,得,或(舍).
,∴.       5分
时,为增函数;
时,为减函数.       7分
∴当时,体积V最大.       8分
(3)木梁的侧面积=
=.       10分
.∵
∴当,即时,最大.       12分
又由(2)知时,取得最大值,
所以时,木梁的表面积S最大.       13分
综上,当木梁的体积V最大时,其表面积S也最大.       14分
考点:(1)函数解析式;(2)用导数求最值;(3)四棱柱的表面积及其最值.

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