题目内容
一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形
（如图所示，其中O为圆心，
在半圆上），设
，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求
的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
(1)
；(2)
；（3）是.
解析试题分析：（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和
表示出等腰梯形的上底
和高，从图形中可知高为
，而
，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里
的最大值可利用导数知识求解，求出
，解出方程
在
上的解，然后考察在解
的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，
，由于
在体积中出现，因此我们可求
的最大值，这里可不用导数来求，因为
，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里
取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.
试题解析：（1）梯形的面积
=
，
． 2分
体积． 3分
（2）
．
令
，得
，或
（舍）．
∵，∴
． 5分
当
时，
，
为增函数；
当
时，
，
为减函数． 7分
∴当时，体积V最大． 8分
（3）木梁的侧面积
=
，．
=
，． 10分
设
，．∵
，
∴当
，即时，
最大． 12分
又由（2）知时，取得最大值，
所以时，木梁的表面积S最大． 13分
综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分
考点：（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.
练习册系列答案
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．
，
，
．
，试判断并用定义证明函数
的单调性；
时，求函数
．
图像上一点
处的切线方程为
(1)求
的值；(2)若方程
在区间
内有两个不等实根，求
的取值范围；(3)令
如果
的图像与
轴交于
两点，
的中点为
，求证：
是
的极值点，求
的范围，使得
恒成立.
是自然对数的底数，函数
.
的单调递增区间；
时，函数
，求
的值.
..
处的切线为
，点（1，0）到直线l的距离为
，求a的值；
恒成立，试确定
的取值范围；
是否存在实数
处的切线与y轴垂直？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
.
为实数，函数
．
的单调区间与极值； 
且
时，
．