Question

一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m³），表面积为S（单位：m²）．

（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．

Answer 1

(1)；(2)；（3）是.

解析试题分析：（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高，从图形中可知高为，而，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里的最大值可利用导数知识求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，，由于在体积中出现，因此我们可求的最大值，这里可不用导数来求，因为
，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.
试题解析：（1）梯形的面积
=，．       2分
体积．       3分
（2）．
令，得，或（舍）．
∵，∴．       5分
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．       7分
∴当时，体积V最大．       8分
（3）木梁的侧面积=，．
=，．       10分
设，．∵，
∴当，即时，最大．       12分
又由（2）知时，取得最大值，
所以时，木梁的表面积S最大．       13分
综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．       14分
考点：（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.