题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,四边形是正方形,
平面
,
分别是线段
,
的中点,
.
求证:
平面
;
求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)取中点
,连接
,易得四边形
为平行四边形,从而
所以∥平面
;(2)
平面
,且四边形
是正方形,
两两垂直,以
为原点,
,
,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系
,求出平面
与平面
的法向量,代入公式得到所成锐二面角的余弦值.
解: 方法一:
取中点
,连接
,
分别是
中点,
,
为
中点,
为正方形,
,
,
四边形
为平行四边形,
平面
,
平面
,
平面
.
方法二:
取中点
,连接
,
.
是
中点,
是
中点,
,
又是
中点,
是
中点,
,
,
,
又,
平面
,
平面
,
平面
,
平面
,
平面
平面
.
又平面
,
平面
.
方法三:
取中点
,连接
,
,
在正方形中,
是
中点,
是
中点
又是
中点,
是
中点,
,
又,
,
,
平面
//平面
.
平面
平面
.
方法四:
平面
,且四边形
是正方形,
两两垂直,以
为原点,
,
,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系
,
则
,
则设平面法向量为
,
则, 即
, 取
,
,
所以
,又
平面
,
∥平面
.
平面
,且四边形
是正方形,
两两垂直,以
为原点,
,
,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系
,
则
设平面法向量为
,
,
则, 即
,
取,
则设平面法向量为
,
则, 即
, 取
,
.
平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
(若第一问用方法四,则第二问部分步骤可省略)

【题目】下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位:元/立方米).
阶梯 | 户年用水量 (立方米) | 水价 | 其中 | ||
自来水费 | 水资源费 | 污水处理费 | |||
第一阶梯 | 0-180(含) | 5.00 | 2.07 | 1.57 | 1.36 |
第二阶梯 | 181-260(含) | 7.00 | 4.07 | ||
第三阶梯 | 260以上 | 9.00 | 6.07 |
(Ⅰ)试写出水费(元)与用水量
(立方米)之间的函数关系式;
(Ⅱ)若某户居民年交水费1040元,求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少?