题目内容
【题目】设
是由
组成的
行
列的数表（每个数恰好出现一次），
且
．
若存在
， 
，使得
既是第
行中的最大值，也是第
列中的最小值，则称数表
为一个“
数表”
为数表
的一个“
值”，
对任意给定的
，所有“
数表”构成的集合记作
．
判断下列数表是否是“
数表”．若是，写出它的一个“
值”；
， 
(Ⅱ)求证：若数表
是“
数表”，则
的“
值”是唯一的；
(Ⅲ)在
中随机选取一个数表
，记
的“
值”为
，求
的数学期望
．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：
试题解析：（Ⅰ根据定义可得）
是“
数表 ”，其“
值”为3， 
不是“
数表”.
（Ⅱ）假设
和
均是数表
的“
值”，则分①若
， ②若
，③若
， 
，三种情况讨论，得出矛盾. 即若数表
是“
数表”，则其“
值”是唯一的.
（Ⅲ）方法1：对任意的由
， 
， 
，…， 
组成的
行
列的数表
.
定义数表
如下，将数表
的第
行，第
列的元素写在数表
的第
行，第
列，即
（其中
， 
），讨论其性质；定义数表
如下，其与数表
对应位置的元素的和为362，即
（其中
， 
）
讨论其性质，记
，则
，即数表
与数表
的“
值”之和为
，
的数学期望
.
方法2：
所有可能的取值为
.
记
中使得
的数表
的个数记作
， 
，则
.
则
，由此可求出
的数学期望
．
（Ⅰ）
是“
数表 ”，其“
值”为3， 
不是“
数表”.
（Ⅱ）假设
和
均是数表
的“
值”，
①若
，则
；
②若
，则
；
③若
， 
，则一方面
，
另一方面
；
矛盾. 即若数表
是“
数表”，则其“
值”是唯一的.
（Ⅲ）方法1：
对任意的由
， 
， 
，…， 
组成的
行
列的数表
.
定义数表
如下，将数表
的第
行，第
列的元素写在数表
的第
行，第
列，即
（其中
， 
）
显然有：
①数表
是由
， 
， 
，…， 
组成的
行
列的数表
②数表
的第
行的元素，即为数表
的第
列的元素
③数表
的第
列的元素，即为数表
的第
行的元素
④若数表
中， 
是第
行中的最大值，也是第
列中的最小值
则数表
中， 
是第
列中的最大值，也是第
行中的最小值.
定义数表
如下，其与数表
对应位置的元素的和为362，即
（其中
， 
）
显然有
①数表
是由
， 
， 
，…， 
组成的
行
列的数表
②若数表
中， 
是第
列中的最大值，也是第
列中的最小值
则数表
中， 
是第
列中的最小值，也是第
列中的最大值
特别地，对由
， 
， 
，…， 
组成的
行
列的数表
①数表
是由
， 
， 
，…， 
组成的
行
列的数表
②若数表
中， 
是第
行中的最大值，也是第
列中的最小值
则数表
中， 
是第
列中的最小值，也是第
列中的最大值
即对任意的
，其“
值”为
（其中
， 
），则
，且其“
值”为
.
记
，则
，即数表
与数表
的“
值”之和为
，
故可按照上述方式对
中的数表两两配对，使得每对数表的 “
值”之和为
，
故
的数学期望
.
方法2：
所有可能的取值为
.
记
中使得
的数表
的个数记作
， 
，则
.
则
，则
，
故
， 
.
【题目】某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2018年上半年每个月的20日的昼夜温差
，
和患感冒的小朋友人数（
/人）的数据如下：
温差 |
|
|
|
|
|
|
患感冒人数 | 8 | 11 | 14 | 20 | 23 | 26 |
其中
，
，
.
（Ⅰ）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合与
的关系；
（Ⅱ）建立
关于的回归方程（精确到
），预测当昼夜温差升高
时患感冒的小朋友的人数会有什么变化？（人数精确到整数）
参考数据：
．参考公式：相关系数：
，回归直线方程是
，
,
