题目内容
已知椭圆
的离心率为
，椭圆的的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4，
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线
与椭圆C交于A, B两点，若点M（
， 0），求证
为定值.
（1）
；（2）参考解析
【解析】
试题分析：（1）要求椭圆的方程需要找到关于
的两个等式即可.由离心率可以得到一个，又由椭圆的的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4，可以得到一个等式，即可求出椭圆的方程.
（2）由线
与椭圆C交于A, B两点，若点M（
， 0），所以要表示出
的结果，通过直线方程与椭圆方程联立即可得一个二次方程.写出韦达定理，再根据向量
与向量
的数量积所得到的关系式即可得到一个定值.
试题解析：（1）因为
满足
,
,
.解得
,则椭圆方程为. 4分
（2）把直线代入椭圆的方程得
设
解得
，
=
=
=
=
所以为定值
. 12分
考点：1.椭圆的性质.2.直线与椭圆的位置关系.3.向量的数量积.4.运算能力的锻炼.
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