Question

【题目】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且，

⊙与该椭圆有且只有一个公共点.

（1）求椭圆标准方程；

（2）过点的直线与⊙相切，且与椭圆相交于两点，求证：；

（3）过点的直线与⊙相切，且与椭圆相交于两点，试探究的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】分析：（1）直接根据已知条件得到a,b,c的方程组，解之即得椭圆标准方程.(2)先联立直线的方程和椭圆方程得到韦达定理，再证明即证.(3) 猜想再证明.

详解：（1）⊙与椭圆有且只有一个公共点，公共点为或，

若公共点为时，则，又，

解得，与矛盾，故公共点为.

，又.

反之，当时，联立解得满足条件.

椭圆标准方程为.

（2），设过的直线，联立，得.

设，则，又，

.

由与⊙相切得

，即.

（3）猜：.证明如下：由（2）得.

.