题目内容
【题目】已知圆:
过椭圆
:
(
)的短轴端点,
,
分别是圆
与椭圆
上任意两点,且线段
长度的最大值为3.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点作圆
的一条切线交椭圆
于
,
两点,求
的面积的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)1.
【解析】试题分析: (Ⅰ)根据椭圆几何性质得线段长度的最大值为
,且
,解出
,得椭圆
的方程;(Ⅱ)利用点斜式设直线方程,与椭圆方程联立,结合韦达定理及弦长公式可得底边
长(用斜率及
表示);利用点到直线距离公式得三角形的高(用斜率及
表示);根据圆心到切线距离等于半径得斜率与
关系,代入面积公式并化简得关于
的函数关系式,最后利用基本不等式求最值.
试题解析:解:(Ⅰ)∵圆过椭圆
的短轴端点,∴
,又∵线段
长度的最大值为3,
∴,即
,
∴椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)由题意可设切线的方程为
,即
,则
,得
.①
联立得方程组消去
整理得
.
其中,
设,
,则
,
,
则.②
将①代入②得,∴
,
而,等号成立当且仅当
,即
.
综上可知: .
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