题目内容

设动点的坐标为（x、），向量，，且=8.

   （I）求动点的轨迹的方程；

   （Ⅱ）过点作直线与曲线交于、两点，若（为坐标原点），是否存在直线，使得四边形为矩形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

解：（I）因为=8，所以.

       所以动点的轨迹是到定点，的距离之和为8的椭圆.

       则曲线的方程是.

   （Ⅱ）因为直线过点N（0，2），若直线的斜率不存在，则的方程为，与椭圆的两个交点A、B为椭圆的顶点.

       由，则与重合，与OAPB为四边形矛盾.5分

       若直线的斜率存在，设方程为，，.

       由得.

       恒成立.

       由根与系数关系得：，.

       因为，所以四边形为平行四边形.

       若存在直线使四边形为矩形，则.

       所以.

       所以.

       即.

       化简得： . 与斜率存在矛盾.   

       则不存在直线，使得四边形为矩形.

练习册系列答案
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已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，
12
y)．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P1的坐标为（2，2），求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为2的收敛圆．
设函数f（α）=sinα+
3
cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．
（1）若P点的坐标为（
3
，1），求f（α）的值；
（2）若点P（x，y）为平面区域
x+y≥1
y≥x
y≤1
上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f（α）的最小值和最大值．
设函数f(α)=sinα+
3
cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π
（I）若P点的坐标为(-
3
，1)，求f（α）的值；
（II）若点P（x，y）为平面区域
x+y≥1
y≥x
y≤1
上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f（α）的值域．

设动点的坐标为（x、），且动点到定点，的距离之和为8.

   （I）求动点的轨迹的方程；

   （Ⅱ）过点作直线与曲线交于、两点，若（为坐标原点），是否存在直线，使得四边形为矩形，若存在,求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

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