Question

设函数f（α）=sinα+

3

cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．
（1）若P点的坐标为（

3

，1），求f（α）的值；
（2）若点P（x，y）为平面区域

x+y≥1 y≥x y≤1

上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f（α）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的定义，算出sinα=

1

2

，cosα=

3

2

，代入即可得到求f（α）的值；
（2）作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部区域，运动点P并加以观察，可得α∈[

π

4

，

π

2

]．利用辅助角公式化简得f（α）=2sin（α+

π

3

），由α+

π

3

∈[

7π

12

，

5π

6

]结合正弦函数的图象与性质加以计算，可得函数f（α）的最小值和最大值．

解答：解：（1）∵P点的坐标为（

3

，1），可得r=|OP|=

3+1

=2，
∴由三角函数的定义，得sinα=

1

2

，cosα=

3

2

，
故f（α）=sinα+

3

cosα=

1

2

+

3

×

3

2

=2．
（2）作出不等式组

x+y≥1 y≥x y≤1

表示的平面区域，
得到如图所示的△ABC及其内部区域，
其中A（0，1）、B（0.5，0.5），C（1，1），
∵P为区域内一个动点，且P为角α终边上的一点，
∴运动点P，可得当P与A点重合时，α=

π

2

达到最大值；
当P与线段BC上一点重合时，α=

π

4

达到最小值．由此可得α∈[

π

4

，

π

2

]．
∵f（α）=sinα+

3

cosα=2sin（α+

π

3

），
∴由α∈[

π

4

，

π

2

]，可得α+

π

3

∈[

7π

12

，

5π

6

]，
当α+

π

3

=

5π

6

即α=

π

2

时，f（α）有最小值2sin

5π

6

=1；
当α+

π

3

=

7π

12

即α=

π

4

时，f（α）有最大值2sin

7π

12

=

6 + 2

2

．
综上所述函数f（α）的最小值为1，最大值为

6 + 2

2

．

点评：本题给出角α终边上的一点P，在P满足特殊条件下求f（α）=sinα+

3

cosα的最值．着重考查了任意角三角函数的定义、二元一次不等式组表示的平面区域和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．