Question

10．已知在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，sin（B-A）=cosC．
（1）求A，B；
（2）若△ABC的面积S_△ABC=3+$\sqrt{3}$，求a，c．

Answer 1

分析 （1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（B-A）=cosC可求出答案．
（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．

解答 解：（1）因为tanC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，
所以左边切化弦对角相乘得到
sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
所以sin（C-A）=sin（B-C）．
所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立）
即2C=A+B，C=60°，
所以A+B=120°，
又因为sin（B-A）=cosC=$\frac{1}{2}$，
所以B-A=30°或B-A=150°（舍），
所以A=45°，C=60°．B=75°．
（2）由（1）知A=45°，C=60°，
∴B=75°，
∴sinB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
根据正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即：$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$c，
S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}{c}^{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=3+\sqrt{3}$，
∴c²=12，
∴c=2$\sqrt{3}$，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$c=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆，属于中档题．