题目内容

14.已知矩阵A=$(\begin{array}{l}{a}&{2}\\{-1}&{4}\end{array})$.A的一个特征值λ=2.
(1)求矩阵A;
(2)在平面直角坐标系中,点P(1,1)依次在矩阵A所对应的变换σ和关于x轴对称的反射变换γ的作用下得到点P′,写出复合变换γ•σ的变换公式,并求出点P′的坐标.

分析 根据矩阵M的一个特征值为1,代入特征多项式求出a的值,求出γ•σ,即可求出点P′的坐标.

解答 解:矩阵M的特征多项式f(λ)=(λ-a)(λ-4)+2,
又∵矩阵M的一个特征值为2,
∴f(2)=0,∴a=1,
由γ•σ=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{array}][\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{1}&{-4}\end{array}]$,
设P′(x,y),则$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{1}&{-4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$,
∴x=3,y=-3,
∴P′(3,-3).

点评 本题主要考查矩阵的特征值与变换等基础知识,考查运算求解能力及函数与方程思想,属于基础题.

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