Question

如图，长方体AC₁中，AB＝2，BC＝AA₁＝1.E、F、G分别为棱DD₁、D₁C₁、BC的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)在底面A₁D₁上有一个靠近D₁的四等分点H，求证： EH∥平面FGB₁；
(3)求四面体EFGB₁的体积．

Answer 1

（1）见解析；
(2) H在A₁D₁上，且HD₁＝A₁D₁时，EH∥平面FGB₁.
(3) V四面体EFGB₁＝VE—FGB₁＝VH—FGB₁＝×1×＝.

解析试题分析：（1）根据面面垂直的判定定理来得到证明。
（2）取A₁D₁的中点P，D₁P的中点H，连接DP、EH，通过EH∥平面FGB₁，说明EH∥B₁G，得到HD₁= A₁D₁．
（3）以D为原点，直线DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用法向量，求出E到平面FGB₁的距离d，底面S_△FGB1，然后求四面体EFGB₁的体积．
解：（1）   
(2)取A₁D₁的中点P，D₁P的中点H，连结DP、EH，则DP∥B₁G，EH∥DP，
∴EH∥B₁G，又B₁G?平面FGB₁，∴EH∥平面FGB₁.
即H在A₁D₁上，且HD₁＝A₁D₁时，EH∥平面FGB₁.
(3)∵EH∥平面FGB₁，∴VE—FGB₁＝VH—FGB₁，
而VH—FGB₁＝VG—HFB₁＝×1×S△HFB₁，
S_△HFB₁＝S梯形B₁C₁D₁H－S△B₁C₁F－S△D₁HF＝，
∴V四面体EFGB₁＝VE—FGB₁＝VH—FGB₁＝×1×＝.
考点：本题主要考查了考查直线与平面的位置关系，探究点的位置，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．中档试题。
点评：解决该试题的关键是熟练的利用面面垂直的判定定理得到证明，同时能家里空间直角坐标系来表示平面的法向量，进而求解体积。