Question

【题目】已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点G（0， ）的动直线l与点的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．

【解析】试题分析：（1）由圆的方程求出F1、F2的坐标，结合题意可得点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，并求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

（2）直线l的方程可设为 ，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，可得 ，即 ．利用向量的坐标运算即可求得m值，即定点Q得坐标．

试题解析：

（1）由圆F1：（x﹣1）2+y2=8，得F1（1，0），则F2（﹣1，0），

由题意得 ，

∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，

∵

∴点M的轨迹C的方程为；

（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．

则+= ， = ，

假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，

则，即．

∵ ，

∴= + = +

∴ ，解得m=﹣1．

因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．