题目内容
20.已知实数x,y满足$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1,求x2+y2-x的最大值与最小值.分析 通过变形可知x2+y2-x=$(x-\frac{1}{2})^{2}$+y2-$\frac{1}{4}$,进而问题即求椭圆上的点P到点Q($\frac{1}{2}$,0)的距离的最值,进而计算可得结论.
解答 解:∵x2+y2-x=$(x-\frac{1}{2})^{2}$+y2-$\frac{1}{4}$,
∴问题即求椭圆上的点P到点Q($\frac{1}{2}$,0)的距离的最值,
设以点Q为圆心的圆的方程为:$(x-\frac{1}{2})^{2}$+y2=d,
与椭圆方程联立消去y得:x2-2x+$\frac{9}{2}$-2d=0,
令△=(-2)2-4($\frac{9}{2}$-2d)=0,解得:d=$\frac{7}{4}$,
∴x2+y2-x的最小值为$\sqrt{\frac{7}{4}}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{1}{4}$,
当点P为椭圆左端点时取最大值为$\sqrt{\frac{1}{2}-(-2)}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}-\frac{1}{4}$.
点评 本题考查椭圆的简单性质,考查数形结合能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | (1,0) | B. | (0,-1) | C. | (1,1) | D. | (1,-1) |