Question

【题目】已知二次函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（0，﹣3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数 的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）＞0的解集（1，3），所以二次函数与x轴的交点为（1，0）和（3，0）

则设f（x）=a（x﹣1）（x﹣3），又因为函数图象过（0，﹣3），代入f（x）得：a=﹣1．

所以f（x）的解析式为f（x）=﹣（x﹣1）（x﹣3）=﹣x2+4x﹣3

（2）解：由（1）得f（x）=﹣（x﹣2）2+1，

所以f（sinx）=﹣（sinx﹣2）2+1，

因为x∈[0， ]，所以sinx∈[0，1]，

由正弦函数和f（x）都在[0，1]上单调递增，

所以x∈[0，1]时，f（sinx）最小值为﹣3，最大值为0

【解析】（1）根据题意可得二次函数与x轴的交点分别为（1，0）和（3，0），可设此二次函数的两根式，把（0，﹣3）代入即可求出解析式；（2）由（1）求出的二次函数的解析式，利用二次函数在sinx值域的区间求最值的方法得到函数的最值即可．
【考点精析】掌握函数的最值及其几何意义是解答本题的根本，需要知道利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．