题目内容
【题目】已知数列{an}的首项a1=2,an+1=2an﹣1(n∈N*) (Ⅰ)写出数列{an}的前5项,并归纳猜想{an}的通项公式;
(Ⅱ)用数学归纳法证明(Ⅰ)中所猜想的通项公式.
【答案】解:(I)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9,a5=17.
猜想:an=2n﹣1+1.
(II)证明:当n=1时,猜想显然成立,
假设n=k(k≥1)时,猜想成立,即ak=2k﹣1+1,
∴ak+1=2ak﹣1=2(2k﹣1+1)﹣1=2k+1,
即n=k+1时,猜想成立,
∴an=2n﹣1+1(n∈N*)恒成立.
【解析】(I)根据递推公式计算并猜想通项公式;(II)先验证n=1,假设n=k猜想成立,再利用递推公式得出ak+1即可得出结论.
【考点精析】认真审题,首先需要了解归纳推理(根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理).
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