题目内容
设
是椭圆
上的两点，已知向量
，若
且椭圆的离心率
，短轴长为2，O为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
（1）
；（2）△AOB的面积为定值1.
解析试题分析：（1）由题可得
，则椭圆方程为 3分
（2）当
轴时：
，则
由对称性只取
.
△AOB的面积为
6分
当AB与x轴不垂直时，设AB：y =kx + m.
则
8分
O到直线AB的距离：
，S△AOB
10分
又
13分S△AOB
△AOB的面积为定值1. 14分
考点：本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系
点评：椭圆的概念和性质，仍将是今后命题的热点，定值、最值、范围问题将有所加强；利用直线、弦长、圆锥曲线三者的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中求解与相交弦有关的综合题仍是今后命题的重点；与其它知识的交汇(如向量、不等式)命题将是今后命题的一个新的重点、热点.
练习册系列答案
相关题目
:
上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
与抛物线
，若满足
，证明直线
的坐标．
，直线
，
为平面上的动点，过点
的垂线，垂足为点
，且
．
的方程；
与曲线
，且与直线
相交于点
，试探究：在坐标平面内是否存在一个定点
，使得以
为直径的圆恒过此定点
是椭圆
的左焦点，直线
方程为
，直线
轴交于
点，
、
分别为椭圆的左右顶点，已知
，且
．
的直线交椭圆于
、
两点，求三角形
面积．
。椭圆D：
的焦距等于
，且过点
与椭圆D交于A、B两点，若点N在以弦AB为直径的圆的外部，求直线
斜率的范围。
有相同的焦点，求此双曲线方程．
的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D、E两点．
，求直线AB的斜率；
：
的离心率等于
，点
在椭圆上.
,
,过点
的动直线
与椭圆
,
两点，是否存在定直线
：
，使得
的交点
总在直线
上？若存在，求出一个满足条件的
值；若不存在，说明理由。
的离心率等于
，直线
与双曲线
的右支交于
两点.
的取值范围；
，点
是双曲线
，求