题目内容
已知椭圆:
的离心率等于
,点
在椭圆上.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左右顶点分别为
,
,过点
的动直线
与椭圆
相交于
,
两点,是否存在定直线
:
,使得
与
的交点
总在直线
上?若存在,求出一个满足条件的
值;若不存在,说明理由。
(I)
(Ⅱ) 存在定直线:
,使得
与
的交点
总在直线
上,
的值是
.
解析试题分析:(1)由,
又点在椭圆上,
,所以椭圆方程:
;
(2)当垂直
轴时,
,则
的方程是:
,
的方程是:
,交点
的坐标是:
,猜测:存在常数
,
即直线的方程是:
使得
与
的交点
总在直线
上,
证明:设的方程是
,点
,
将的方程代入椭圆
的方程得到:
,
即:,
从而:,
因为:,
共线,所以:
,
,
又,
要证明
共线,即要证明
,
即证明:,即:
,
即:因为:
成立,
所以点在直线
上.综上:存在定直线
:
,使得
与
的交点
总在直线
上,
的值是
.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
点评:本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的方程是否存在,综合性强,难度大,有一定的探索性,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用

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