Question

【题目】设曲线所围成的封闭区域为D.

（1）求区域D的面积；

（2）设过点的直线与曲线C交于两点P、Q，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）512（2）

【解析】

（1）由题设，由，因此.

若，则当时，

此时，图象时两条直线段.

当时，

，，对应于一段二次函数的图象.

若，则当时，类似于前面的推导得，对应于二次函数图象的一段：.

当时，

，得到，无解.

综上所述，区域D的集合为：，

由区域D上函数图象性质，知区域D的面积为.

（2）设过点的直线为l，为了求的最大值，由区域D的对称性，只需考虑直线l与D在y轴右侧图像相交部分即可.设过点的直线l方程为，易知此时l与D相交时有.

1．当时，l与D分别相交于二次函数以及，两个交点分别为

，

.

因此，，为关于k的递减函数.

2．当时，直线l与D分别相交于二次函数以及直线，从图形性质容易看出，随着k从2变到1，的值逐步减少.

综上所述，当l经过直线与二次函数的图像交点时，的值最大，此时直线l的方程为：，，的值为

.

当落在y轴上时，.因此，的最大值为.