Question

7．已知定义在实数解R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导函数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1，则不等式f（x）＜x+1的解集为（　　）

• A． （-1，1）
• B． （-∞，-1）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-x-1，由有f′（x）＜1，可得g（x）的导数小于0，g（x）递减，由f（1）=2，可得g（1）=0，再由单调性，即可得到不等式的解集．

解答 解：令g（x）=f（x）-x-1，由f′（x）＜1，
则g′（x）=f′（x）-1＜0，g（x）在R上递减，
又f（1）=2，则g（1）=f（1）-1-1=0，
则不等式f（x）＜x+1，即为g（x）＜0，
又g（1）=0，
即有g（x）＜g（1），
由g（x）为递减函数，则x＞1．
故选C．

点评 本题考查导数的运用：求单调性，考查构造函数运用单调性解不等式的思想，属于中档题．