题目内容
16.已知函数f(x)=2x3-3x,若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,则t的取值范围为( )A. | (-∞,-3) | B. | (-3,-1) | C. | (-1,+∞) | D. | (0,1) |
分析 设出切点,由斜率的两种表示得到等式,化简得三次函数,将题目条件化为函数有三个零点,得解.
解答 解:设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x,2x3-3x),
则$\frac{2{x}^{3}-3x-t}{x-1}$=6x2-3,
化简得,4x3-6x2+3+t=0,
令g(x)=4x3-6x2+3+t,
则令g′(x)=12x(x-1)=0,
则x=0,x=1.
g(0)=3+t,g(1)=t+1,
又∵过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,
则(t+3)(t+1)<0,
解得,-3<t<-1.
故选:B.
点评 本题主要考查利用导数求切线方程等知识,考查转化思想的运用能力和运算能力,属中档题.
练习册系列答案
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A. | (-1,1) | B. | (-∞,-1) | C. | (1,+∞) | D. | (-∞,-1)∪(1,+∞) |
8.若120是一个数列的一项,则这个数列是( )
A. | {n2+1} | B. | {n2-1} | C. | {n2-2n+1} | D. | {n2-n-1} |