Question

19．已知函数f（x）=x²+2（a-1）x+12，若g（x）=|f（x）|在区间（-∞，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（-∞，$-\frac{11}{2}$]∪[1-2$\sqrt{3}$，0]∪（1+2$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 可画出g（x）的草图，根据草图可看出：f（x）的图象和x轴最多一个公共点时，△≤0且f（x）的对称轴x=1-a≥1，这样可得到一个a的范围；而f（x）的图象和x轴有两交点时，△＞0，且方程f（x）=0的小根大于等于1，求出这两种情况下a的范围再求并集便可得出实数a的取值范围．

解答 解：g（x）=|x²+2（a-1）x+12|，画出g（x）的草图为：
∴看出要使g（x）在区间（-∞，1）上为减函数，需满足：
①△=4（a-1）²-48≤0，即1$-2\sqrt{3}≤a≤1+2\sqrt{3}$时，$-\frac{2（a-1）}{2}≥1$；
∴$1-2\sqrt{3}≤a≤0$；
②△＞0，即$a＜1-2\sqrt{3}$，或$a＞1+2\sqrt{3}$时，方程x²+2（a-1）x+12=0的小根大于等于1；
即$\frac{-2（a-1）-\sqrt{4（a-1）^{2}-48}}{2}≤1$；
解得$a≤-\frac{11}{2}$，或a$＞1+2\sqrt{3}$；
∴综上得实数a的取值范围为$（-∞，-\frac{11}{2}]∪[1-2\sqrt{3}，0]∪（1+2\sqrt{3}，+∞）$．
故答案为：（$-∞，-\frac{11}{2}$]∪[1-2$\sqrt{3}$，0]∪（1+2$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 考查数形结合解题的方法，清楚f（x）和|f（x）|图象的关系，二次函数f（x）和x轴公共点的情况和判别式△的关系，以及一元二次方程的求根公式，根据函数图象判断函数的单调性．