Question

7．已知关于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的两个根分别为α，β，其中α∈（0，1），β∈（1，+∞），则$\frac{b-1}{a+1}$的取值范围是（　　）

• A． （-2，0）
• B． （0，2）
• C． （-1，0）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 设f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，则f（0）＞0，f（1）＜0，α+β=-（a+1）＞0，αβ=a+b+1＞0，作出平面区域，则$\frac{b-1}{a+1}$的范围就是平面区域内过点（-1，1）的直线的斜率的范围．

解答 解：设f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，
则α，β是f（x）=0的零点，
∵α∈（0，1），β∈（1，+∞），
∴f（0）＞0，f（1）＜0，α+β=-（a+1）＞0，αβ=a+b+1＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1＞0}\\{2a+b+3＜0}\\{-a-1＞0}\end{array}\right.$，作出平面区域如图：
由图象可知，当过（-1，1）的直线平行于2a+b+3=0时，斜率最小为-2，
过（-1，1）的直线与x轴平行时，斜率最大为0．
故选A．

点评 本题考查了二次函数的零点与系数的关系及简单的线性规划，将所求问题转化为线性规划问题是解题关键，属于中档题．