Question

14．已知f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数．且当0＜x≤1时．f（x）=lg（x²+9），则（1）函数f（x）的表达式为$\left\{\begin{array}{l}{lg（x^2+9），0＜x≤1}\\{-lg（x^2+9），-1≤x＜0}\end{array}\right.$（2）函数f（x）最大值为1．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和函数在（0，1]的解析式求出函数在[-1，0）上的解析式，再根据函数的单调性求出函数的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，且x∈（0，1]时，f（x）=lg（x²+9），
∴当x∈[-1，0）时，f（x）=-f（-x）=-lg[（-x）²+9]=-lg（x²+9），
因此，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg（x^2+9），0＜x≤1}\\{-lg（x^2+9），-1≤x＜0}\end{array}\right.$；
（2）∵当x∈（0，1]时，f（x）=lg（x²+9），
∴f（x）在（0，1]上单调递增，且f（x）为奇函数，
所以，f（x）在[-1，0）也单调递增，因此，
①当x=1时，函数取得最大值，f（x）_max=f（1）=lg10=1；
②当x=-1时，函数取得最小值，f（x）_min=f（-1）=-lg10=-1；
故函数f（x）的最大值为1．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性和函数解析式的求法，以及应用函数的单调性求函数的最值，还考查了分类讨论思想，属于容易题．