Question

8．已知复数Z满足|Z-4|+|Z+4|=10．则|Z|的取值范围为[3，5]．

Answer 1

分析 设Z=x+yi，则（x，y）的轨迹是以（-4，0）和（4，0）为焦点、以5为实半轴的椭圆，|z|表示椭圆上的点到（0，0）的距离，由此能求出|Z|的取值范围．

解答 解：∵复数Z满足|Z-4|+|Z+4|=10，
∴设Z=x+yi，则$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}$=10，
∴（x，y）到点（-4，0）和（4，0）的距离之和为10，
∴（x，y）的轨迹是以（-4，0）和（4，0）为焦点、以5为实半轴的椭圆，
椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
|z|表示椭圆上的点到（0，0）的距离，
由椭圆性质可得b≤|Z|≤a，即3≤|Z|≤5．
故答案为：[3，5]．

点评 本题考查复数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的几何意义和椭圆性质的合理运用．