题目内容
(本小题满分14分) 已知R,函数(x∈R).
(1)当时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)函数f(x)是否能在R上单调递减,若能,求出的取值范围;若不能,请说明理由;
(3)若函数f(x)在上单调递增,求的取值范围.
【答案】
(1);(2)当时, 函数f(x)在R上单调递减;(3)
【解析】本试题主要是考察了导数在研究函数中的运用。利用导数求解函数的单调性和研究函数的参数的范围问题。
(1)直接求解函数的导数,判定导数的正负,得到单调区间,
(2)如果在给定区间单调,则导数恒大于等于零或者恒小于等于零来得到参数的范围。
(3)同上,结合函数的单调区间,分离参数的思想得到a的范围。
解: (1) 当时,,
.--------2分
令,即,即,
解得.函数f(x)的单调递增区间是.-------4分
(2) 若函数f(x)在R上单调递减,则对R都成立,-------6分
即对R都成立, 即对R都成立.
,解得.
当时, 函数f(x)在R上单调递减.---------9分
(3) 解法一:∵函数f(x)在[-1,1]上单调递增,
对都成立,对都成立.
即对都成立.---------11分
令,则
解得
.-----------14分
解法二: 函数f(x)在上单调递增,
对都成立, 对都成立对都成立,即对都成立.----11分
令, 则.------12分
当时,;当时,.
在上单调递减,在上单调递增.
,在上的最大值是.
.-----------14分
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