Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上,半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线x- y+2=0相切.

(1)求圆C的方程.

(2)在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (x-2)2+y2=4(x≠0) (2) .

【解析】分析：（1）设圆心坐标，半径为2，与直线x- y+2=0相切，则圆心到直线的距离等于半径，列方程式求解即可。

（2）点在圆上，则，的面积为，利用几何性质，列出面积的表达式，求最值即可。

解析：(1)设圆心是(x0,0)(x0>0),它到直线x-y+2=0的距离是d==2,

解得x0=2或x0=-6(舍去),所以所求圆C的方程是(x-2)2+y2=4(x≠0).

(2)存在.理由如下:因为点M(m,n)在圆C上,

所以(m-2)2+n2=4,

n2=4-(m-2)2=4m-m2且0≤m≤4.又因为原点到直线l:

mx+ny=1的距离h<1,解得<m≤4,而|AB|=2,

所以S△OAB=|AB|·h=因为≤<1,

所以当=,即m=时,S△OAB取得最大值,

此时点M的坐标是△OAB的面积的最大值是.