题目内容
【题目】已知函数
，
.
（Ⅰ）当
，函数
图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？
（Ⅱ）讨论函数的零点个数.
【答案】(Ⅰ)存在；(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)对函数f(x)求导，根据二次导数判断函数
的单调性，结合函数单调性和极值可得答案；（Ⅱ）对函数f(x)求导，对参数a进行讨论，根据函数的单调性即可判断出函数零点的个数.
（Ⅰ）
，
，
，
则函数在
单调递减，
上单调递增，
上单调递减，
因为
，
，
，
，
，
所以存在切线斜率
，
使得
，
，
，
，
所以函数
图象上是存在3条互相平行的切线.
（Ⅱ）
，
当
，有
；
，
在
上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在
内；
当
，有
，；，
在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；
当
，有
，∴在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
，，
，
所以函数一个零点在区间
内，一个零点在区间
内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.
综上所述：当
函数一个零点；当
函数三个零点.
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