Question

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为：3ρ²=12ρcosθ-10（ρ＞0）．
（1）求曲线C₁的普通方程
（2）曲线C₂的方程为

x2

16

+

y2

4

=1，设P、Q分别为曲线C₁与曲线C₂上的任意一点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入极坐标方程，化简后得曲线C₁的普通方程；
（2）利用参数方程设出椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上的任意一点Q，求出Q到圆的圆心的最小距离，减去圆的半径得答案．

解答：解：（1）由3ρ²=12ρcosθ-10（ρ＞0），得
3x²+3y²=12x-10，即(x-2)2+y2=

2

3

．
∴曲线C₁的普通方程为：(x-2)2+y2=

2

3

；
（2）依题意可设Q（4cosθ，2sinθ），
由（1）知圆C₁的圆心坐标为（2，0），
则|QC|=

(4cosθ-2)2+4sin2θ

=

12cos2θ-16cosθ+8

=2

3(cosθ- 2 3 )2+ 2 3

．
∴当cosθ=

2

3

时，|QC|min=

2 6

3

．
∴|PQ|min=

6

3

．

点评：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了两点间的距离公式，训练了利用配方法求最值，是中低档题．