Question

【题目】已知a为常数，函数f（x）=xlnx﹣ ax2 ．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）
①求实数a的取值范围；
②求证：x1x2＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，

当x＞ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜ 时，f′（x）＜0，f（x）递减．

即有x= 时，取得最小值，且为﹣

（2）解：①f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），

即为f′（x）=1+lnx﹣ax=0的两根为x1，x2．

即有a= ，设g（x）= ，g′（x）= ，

当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增．

即有x=1处取得极大值，也为最大值1，

且0＜x＜ 时，g（x）递增，g（x）＜0，当 ＜x＜1或x＞1时，g（x）∈（0，1），

即有0＜a＜1．故a的取值范围是（0，1）；

②证明：由题意可得1+lnx1=ax1，1+lnx2=ax2，

即有2+ln（x1x2）=a（x1+x2），又lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），

即有2+ln（x1x2）=（lnx1﹣lnx2）

要证x1x2＞1，即证ln（x1x2）＞0，即有（lnx1﹣lnx2） ＞2，

即ln ＞2 在x2＞x1成立，（*）

由t= ＞1，设h（t）=lnt﹣2 ，

h′（t）= ﹣ = ＞0，h（t）在t＞1递增，即有h（t）＞h（1）=0，

即为lnt＞2 ，即有（*））成立．

故x1x2＞1

【解析】（1）求出f（x）的导数，求出单调区间，可得极小值，也为最小值；（2）①由题意可得f′（x）=1+lnx﹣ax=0的两根为x1 ， x2 ． 即有a= ，设g（x）= 1=ax1 ， 1+lnx2=ax2 ， 两式相加和相减，可得a，要证x1x2＞1，即证ln（x1x2）＞0，即有（lnx1﹣lnx2） ＞2，即ln ＞2 在x2＞x1成立，（*）由t= ＞1，设h（t）=lnt﹣2 ，求出导数，判断单调性，即可得到证明．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．