Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD= ．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）因为四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，
所以PD2=PA2+AD2 ， 所以PA⊥AD
又PA⊥CD，AD∩CD=D
所以PA⊥平面ABCD
（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD的底面积为1，
因为PA⊥平面ABCD，所以四棱锥P﹣ABCD的高为1，
所以四棱锥P﹣ABCD的体积为：
【解析】（Ⅰ）根据底面是边长为1的正方形，以及勾股定理，证明PA⊥AD，再根据PA⊥CD，AD∩CD=D，即可证明PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）根据四棱锥P﹣ABCD的底面积为1，高为PA，即可求出四棱锥P﹣ABCD的体积．
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．