Question

7．如图，我市体育公园的运动休闲区域的平面图如图所示，在y轴左侧的运动区的边界曲线段是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈[-4，0]时的图象且最高点B（-1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），在y轴右侧的休闲区的边界曲线段是以P为圆心，CO为直径的半圆弧，D、E两点在半圆弧上，满足$\widehat{CE}$=$\widehat{DE}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）现要在休闲区的半圆中进行绿化规划，在扇形CPD内种植草坪，在△DPE和弓形OEFO内种植花卉，已知种植花卉的每平方米的成本是种植草坪的每平方米的成本的2倍，设∠CPD=θ（弧度），则当θ为何值时，休闲区的种植总成本最低．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．
（2）求出休闲区的种植总成本，利用导数确定单调性，即可得出结论．

解答 解：（1）因为最高点B（-1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），所以A=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
因为T=$\frac{2π}{ω}$=12，所以ω=$\frac{π}{6}$．
代入点B（-1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），可得sin（φ-$\frac{π}{6}$）=1，
又0＜φ＜π，所以φ=$\frac{2π}{3}$，
所以f（x）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{2π}{3}$）．
（2）由（1）可知点C（0，2），即CO=2，
设种植草坪的每平方米的成本为1，则种植花卉的每平方米的成本是2，
休闲区的种植总成本y=$\frac{θ}{2}$+sinθ+π-2θ-sin2θ=-$\frac{3θ}{2}$+sinθ+π-sin2θ，
∴y′=cosθ-$\frac{3}{2}$-2cos2θ=0，
∴θ=60°，
0°＜θ＜60°，y′＜0，60°＜θ＜90°，∴θ=60°，函数取得最小值，休闲区的种植总成本最低．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，属于中档题．