题目内容
【题目】已知真命题:“函数的图象关于点
成中心对称图形”的等价条件为“函数
是奇函数”.
(1)将函数的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数
图象对称中心的坐标;
(2)已知命题:“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的等价条件为“存在实数a和b,使得函数
是偶函数”.断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
【答案】(1),对称中心的坐标为
;(2)假命题,修改见解析
【解析】
(1)根据平移法则得到,根据题设计算对称中心得到答案.
(2)假命题,举出反例关于直线
对称,再修改命题得到答案.
(1)将函数的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到的函数为:
,易知
是奇函数,
故的图象对称中心的坐标为
.
(2)命题是假命题.举反例:关于直线
对称,
但是不可能为偶函数,故错误;
修改后的真命题为:“函数的图象关于直线
成轴对称图”的等价条件为“函数
是偶函数”.

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