题目内容
12.设i是虚数单位,2、2i、cosα+isinα(0<α<π)分别对应复平面内的点A、B、C,O为坐标原点,|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{7}$.(1)求α的值;
(2)求向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角.
分析 (1)由题意和复数的几何意义可得点的坐标,进而可得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$的坐标,由模长公式可得cosα,可得答案;
(2)α求出后,可以得到向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{AC}$的坐标.
解答 解:(1)由题意可得O(0,0),A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα),
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=(2+cosα,sinα),∴(2+cosα)2+sin2α=7,
∴4cosα-2=0,解得cosα=$\frac{1}{2}$,结合0<α<π可得α=$\frac{π}{3}$;
(2)$\overrightarrow{OA}$=(2,0);$\overrightarrow{OC}$=($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$);
所以:$\overrightarrow{AC}$=(-$\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$);
cos<$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{AC}$>=$\frac{-3}{2×\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$;
所以<$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{AC}$>=$\frac{5}{6}π$.
点评 本题考查平面向量的模长公式和夹角公式,涉及复数的几何意义,属基础题.
练习册系列答案
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