Question

关于函数f(x)=2x-

1

2x

(x∈R)．有下列三个结论：①f（x）的值域为R；②f（x）是R上的增函数；③f（x）的图象是中心对称图形，其中所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：先判定函数的单调性，利用增函数与减函数作差为增函数进行判定②的真假，然后根据单调性求函数的值域可判定①的真假，③是考查函数的奇偶性的，要判断是否关于原点对称，须看是否为奇函数，须用定义．

解答：解：因为y=2^x在R上是增函数，且y=2^-x在R上是减函数，所以f（x）=2^x-2^-x在R上是增函数，所以②对，
f（x）=2^x-2^-x在R上是增函数当x→-∞则y→-∞，当x→+∞则y→+∞，则f（x）的值域为R，所以①对
因为f（x）=2^x-2^-x，故f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），则f（x）为奇函数，f（x）的图象是中心对称图形，所以③对，
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点，以及指数函数的图象与性质，属于基础题．