Question

已知函数f(x)=

2，x＞k x2+4x+2，x≤k

，若关于x的方程f（x）=x恰有三个不同的实根，则k的取值范围为（　　）

A．[2，+∞）

B．（-∞，-1]

C．[-1，2]

D．[-1，2）

Answer 1

分析：由题意可得函数f（x）的图象和直线y=x应有3个不同的交点．如图所示：当k=-1时，函数f（x）的图象和直线y=x有3个不同的交点，满足条件；当k＜-1
或k≥2时，函数f（x）的图象和直线y=x有2个不同的交点，不满足条件；综合可得结论．

解答：解：由于直线y=x和抛物线y=x²+4x+2相较于两个点A（-2，-2）、B（-1，-1），
由题意可得函数f（x）的图象和直线y=x应有3个不同的交点，故直线y=x和射线y=2（x＞k）有一个交点．
当k=-1时，数形结合可得函数f（x）的图象和直线y=x有3个不同的交点A、B、C，故k=1满足条件；
当k＜-1时，函数f（x）的图象和直线y=x有2个不同的交点，不满足条件．
当k=2时，数形结合可得函数f（x）的图象和直线y=x有2个不同的交点A、B，故k=2不满足条件．
当k＞2时，函数f（x）的图象和直线y=x有2个不同的交点A、B，不满足条件．
数形结合可得，当-1≤k＜2时，函数f（x）的图象和直线y=x有3个不同的交点，满足条件，
故选D．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．