题目内容

关于函数f(x)=2|x+
1
x
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,下列命题判断错误的是(  )
分析:A.计算出f(-x),比较与f(x)的关系从而确定函数的奇偶性.B.求出函数|x+
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x
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的最小值,利用复合函数的单调性求y的取值范围.C.利用复合函数的单调性,先判断函数|x+
1
x
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的单调性.然后再判断复合函数的单调性.D.先判断函数|x+
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x
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的单调性.然后再判断复合函数的单调性.
解答:解:A.因为f(-x)=2|-x-
1
x
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=2|x+
1
x
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=f(x)
为偶函数,所以图象关于y轴对称,所以A错误.
B.因为|x+
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x
|=|x|+
1
|x|
≥2
,所以f(x)=2|x+
1
x
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=2|x|+
1
|x|
22=4
,所以函数的值域为[4,+∞),所以B正确.
C.因为函数|x+
1
x
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在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,所以函数f(x)=2|x+
1
x
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在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,因为函数f(x)=2|x+
1
x
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是偶函数,所以在对称区间(-∞,-1]上是减函数,所以C正确.
D.因为函数|x+
1
x
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在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,所以函数f(x)=2|x+
1
x
|
在(0,1)上为减函数,所以D正确.
故选A.
点评:本题考查与指数函数有关的复合函数的性质.考查函数的奇偶性,单调性与值域的求法和判断.正确理解复合函数之间的关系是解决复合函数性质的关键.
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